射影定理是立体几何中的重要定理，描述了平面图形在另一平面上的投影面积与原图形面积及二面角之间的关系。其标准表述为：

trong>平面图形的射影面积等于原图形面积乘以该图形所在平面与射影面所夹二面角的余弦值，即：

s

ta = fracS_

t射影}}}S_

t原}}}

，(

ta ) 为两平面所成锐二面角，( S_

t原}} ) 为原图形面积，( S_

t射影}} ) 为其投影面积。

内容结合几何构造与比例关系，给出定理的严谨证明：

证明思路

核心观察：射影本质是沿投影路线对原图形的长度（如三角形的高）进行缩放，而垂直投影路线宽度不变。

面积比性质：平面多边形面积比等于其对应边长比的平方（若投影路线与某边平行，则宽度不变，面积比等于长度比）。

几何转化：构造一个直角三角形，使其斜边和一直角边分别垂直于两平面的交线（棱），利用该三角形的边角关系建立投影长度比与二面角余弦的联系。

证明步骤

步骤1：构造几何模型

面 ( alpha ) 上有一多边形图形，其面积为 ( S_

t原}} )。该图形在平面 ( beta ) 上的投影面积为 ( S_

t射影}} )，两平面交线为 ( l )（称为棱）。以简单三角形为例（多边形可分割为三角形证明）：

在平面 ( alpha ) 上取 (riangle ABC )，其高 ( CD perp AB ) 于 ( D )。

投影到平面 ( beta ) 上得 (riangle ABO )（( O ) 为 ( C ) 的投影），则 ( OD perp AB )（因投影保持垂直关系）。

angle CDO ) 即为二面角 ( alpha

AB

beta ) 的平面角，故 ( angle CDO =heta )。

步骤2：分析投影长度关系

投影经过中，( AB ) 边在棱 ( l ) 上，长度不变（因 ( AB parallel l )）。

高 ( CD ) 投影为 ( OD )，其长度缩放比例由 (

ta ) 决定。在 (

riangle CDO ) 中：

s

ta = fracOD}CD} quad Rightarrow quad OD = CD cdot cos

ta

步骤3：推导面积比

原三角形面积： ( S_

t原}} = frac1}2}

es AB

imes CD )

投影三角形面积： ( S_

t射影}} = frac1}2}

es AB

imes OD )（因 ( AB ) 长度不变，高变为 ( OD ))

面积比关系：

acS_

t射影}}}S_

t原}}} = fracfrac1}2}

es AB

es OD}frac1}2}

es AB

es CD} = fracOD}CD} = cos

ta

步骤4：推广至一般多边形

多边形可分割为若干三角形。由于每个三角形均满足 ( S_

t射影}, i} = S_

t原}, i} cdot cos

ta )，对全图求和得：

m S_

t射影}, i} = cos

ta cdot sum S_

t原}, i} quad Rightarrow quad S_

t射影}} = S_

t原}} cdot cos

ta

定理意义与应用

几何价格：建立了空间图形与投影间的度量关系，简化二面角计算（如求二面角时，若知图形及投影面积，则 (

ta = arccos(S_

t射影}} / S_

ext原}}) )。

适用性：适用于任意平面图形（如三角形、多边形、曲线形），且投影路线需垂直于射影平面。

注意事项：若二面角为钝角，公式取完全值（因面积比为正值）。

图示辅助领会：

　　 原平面 ( alpha )：图形如 (

angle ABC )

　　 射影平面 ( beta )：投影如 (

angle ABO )

　　 关键辅助线： ( CD perp AB )， ( OD perp AB )，则 ( angle CDO =

ta )

明综合了射影的缩放本质与直角三角形的三角关系，严谨且具普适性，是立体几何难题中的重要工具。